Matematika Berhingga Contoh

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

Langkah 1

Kurangkan $y$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

Langkah 2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$4 y, 3, 1, 1$

Langkah 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Langkah 2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 2.4

$4$ memiliki faktor $2$ dan $2$ .

$2 \cdot 2$

Langkah 2.5

Karena $3$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $3$ .

$3$ adalah bilangan prima

Langkah 2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 2.7

KPK dari $4, 3, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Langkah 2.8

Kalikan $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \cdot 3$

Langkah 2.8.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$12$

Langkah 2.9

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 2.10

KPK dari $y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y$

Langkah 2.11

KPK untuk $4 y, 3, 1, 1$ adalah bagian bilangan $12$ dikalikan dengan bagian variabel.

$12 y$

Langkah 3

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ dengan $12 y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ dengan $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.2.2

Faktorkan $4$ dari $4 y$ .

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.5.2

Faktorkan $3$ dari $12 y$ .

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.6

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.7

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.8

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.8.1

Pindahkan $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.8.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Langkah 3.2.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

Langkah 4

Selesaikan pertidaksamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $y$ ke sisi kiri dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kurangkan $24 y$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

Langkah 4.1.2

Kurangi $24 y$ dengan $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

Langkah 4.2

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

Langkah 4.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.4

Substitusikan nilai-nilai $a = - 12$ , $b = - 28$ , dan $c = 3$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.1

Naikkan $- 28$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.5.1.2.2

Kalikan $48$ dengan $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.5.1.3

Tambahkan $784$ dan $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.5.1.4

Tulis kembali $928$ sebagai $4^{2} \cdot 58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.5.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Langkah 4.5.3

Sederhanakan $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Langkah 4.5.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Langkah 4.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Naikkan $- 28$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.6.1.2.2

Kalikan $48$ dengan $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.6.1.3

Tambahkan $784$ dan $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.6.1.4

Tulis kembali $928$ sebagai $4^{2} \cdot 58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.6.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.6.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Langkah 4.6.3

Sederhanakan $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Langkah 4.6.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Langkah 4.6.5

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

Langkah 4.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Naikkan $- 28$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.7.1.2.2

Kalikan $48$ dengan $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.7.1.3

Tambahkan $784$ dan $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.7.1.4

Tulis kembali $928$ sebagai $4^{2} \cdot 58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.7.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.7.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Langkah 4.7.2

Kalikan $2$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Langkah 4.7.3

Sederhanakan $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Langkah 4.7.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Langkah 4.7.5

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Langkah 4.8

Gabungkan penyelesaiannya.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Langkah 5

Tentukan domain dari $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{4 y}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$4 y = 0$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $4 y = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $4 y = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 5.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$y = 0$

Langkah 5.3

Domain adalah semua nilai dari $y$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Langkah 7

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Uji nilai pada interval $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pilih nilai pada interval $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$y = - 5$

Langkah 7.1.2

Ganti $y$ dengan $- 5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

Langkah 7.1.3

Sisi kiri $- 0.38\overline{3}$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 3$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.2

Uji nilai pada interval $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$y = - 1$

Langkah 7.2.2

Ganti $y$ dengan $- 1$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

Langkah 7.2.3

Sisi kiri $- 0.58\overline{3}$ lebih kecil dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 7.3

Uji nilai pada interval $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pilih nilai pada interval $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$y = 0.05$

Langkah 7.3.2

Ganti $y$ dengan $0.05$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

Langkah 7.3.3

Sisi kiri $4.\overline{6}$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $2.05$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.4

Uji nilai pada interval $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pilih nilai pada interval $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$y = 3$

Langkah 7.4.2

Ganti $y$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

Langkah 7.4.3

Sisi kiri $- 0.25$ lebih kecil dari sisi kanan $5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 7.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Salah

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Benar

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Salah

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Benar

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Salah

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Benar

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Salah

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Benar

Langkah 8

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ atau $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Langkah 9

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

Langkah 10